第二十一章 一元二次方程
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21.1 一元二次方程
一、一般形式
$$
ax^2+bx+c=0,(a\neq0)
$$
叫做一元二次方程的一般形式.
平均身高，抓一个人出来，1.6米。
少吃零食垃圾食品。
如果有个人，有一米高，长得精致好看。
有人不好意思听，，说到上半身和下半身的比例，自己平时不注意……
比如说、比赛，比赛谁讲小话厉害。
抓一把沙子，人们是尽可能多地抓起来。
例1.把下列方程化成一般形式，并指出$a,b,c$
$$
(1)\,5x^2-1=4x\\
解：5x^2-1-4x=0\\
5x^2-4x-1=0\\
\therefore a=5,b=-4,c=-1\\
(2)\,4x^2=81\\
解:4x^2-81=0\\
\therefore a=4,b=0,c=-81\\
(3)\,4x(x+2)=25\\
解：4x^2+8x-25=0\\
\therefore a=4,b=8,c=-25\\
(4)\,(3x-2)(x+1)=8x-3\\
解：3x^2+3x-2x-2-8x+3=0\\
3x^2-7x+1=0\\
\therefore a=3,b=-7,c=1
$$
例2.关于$x$的一元二次方程，$kx^2+x^2-kx+2x-k-1=0$，找出$a,b,c$
$$
解:\\
(k+1)x^2+(2-k)x-k-1=0\\
\therefore a=k+1,b=-(k-2),c=-k-1.
$$
二、方程的解
使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解.
三、解方程
求方程的解的过程叫做解方程.
例3. 1是方程$x^2-ax=0$的解，求$a$的值.
$$
解：\\
\because 1是方程x^2-ax=0的解\\
\therefore x=1\\
把x=1代入方程得:\\
\begin{aligned}
1-a=0\\
a=1
\end{aligned}
$$
21.2.1 一元二次方程的解法
21.2.1 配方法
一、分析$x^2=a$
- 若$a>0$，有两个不相等的实数解
- 若$a=0$，有两个相等的实数解
- 若$a<0$，没有实数解
二、用配方法解一元二次方程的步骤
- 移常数项到右边
- 二次项系数化为"1"
- 配上一次项系数一半的平方
例1.解方程
$$
(1)\,x^2-8x+1=0\\
\begin{aligned}
解：\,x^2-8x&=-1\\
x^2-8x+16&=-1+16\\
(x-4)^2&=15\\
x-4&=\pm\sqrt{15}
\end{aligned}\\
\therefore x_1=4+\sqrt{15},x_2=4-\sqrt{15}
$$
$$
(2)\,2x^2+1=3x\\
\begin{aligned}
解：2x^2-3x+1&=0\\
2x^2-3x\underline{空}&=-1\\
x^2-\frac{3}{2}x\underline{空}&=-\frac{1}{2}\\
x^2-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}&=-\frac{1}{2}+\frac{9}{16}\\
(x-\frac{3}{4})^2&=\frac{1}{16}\\
x-\frac{3}{4}&=\pm\frac{1}{4}
\end{aligned}\\
x=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}或x=\frac{3}{4}-\frac{1}{4}\\
\therefore x_1=1,x_2=\frac{1}{2}
$$
$$
(3)\,3x^2-6x+4=0\\
\begin{aligned}
解：3x^2-6x&=-4\\
x^2-2x&=-\frac{4}{3}\\
x^2-2x+1&=-\frac{4}{3}+1\\
(x-1)^2&=-\frac{1}{3}
\end{aligned}\\
\because (x-1)^2\geqslant0\\
\therefore 此方程无实数解.
$$
计算：公式：$ax^2+bx+c=0$
$$
\begin{aligned}
ax^2+bx\,&=-c\\
x^2+\frac{b}{a}x\,&=-\frac{c}{a}\\
x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2&=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2\\
(x+\frac{b}{2a})^2&=-\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}\\
(x+\frac{b}{2a})^2&=-\frac{4ac}{4a^2}+\frac{b^2}{4a^2}\\
(x+\frac{b}{2a})^2&=\frac{b^2-4ac}{4a^2}\\
x+\frac{b}{2a}&=\pm\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}
\end{aligned}
$$
$x+\frac{b}{2a}=+\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}$或$x+\frac{b}{2a}=-\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}$
$x+\frac{b}{2a}=+\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$或$x+\frac{b}{2a}=-\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
$x=-\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$或$x=-\frac{b}{2a}-\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
$\therefore x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a},x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
$$
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
$$
21.2.2 公式法
一、用公式法解一元二次方程
从 $ax^2+bx+c=0,(a\neq0)$
计算到 $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
二、用公式法解一元二次方程的步骤
- 化成一般形式，找到$a,b,c$
- $\Delta=b^2-4ac$
- $x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$
三、判断一元二次方程根的情况
- 当$\Delta>0$时，有两个不相等的实数根
- 当$\Delta=0$时，有两个相等的实数根
- 当$\Delta<0$时，没有实数根
例1.用公式法解一元二次方程.
①$x^2=2(x+1)$
$$
解：\\
x^2=2x+2\\
x^2-2x-2=0\\
\because a=1,b=-2,c=-2\\
\begin{aligned}
\therefore \Delta&=b^2-4ac\\
&=(-2)^2-4\times1\times(-2)\\
&=4+8\\
&=12
\end{aligned}\\
\because\Delta>0\\
\therefore 方程有两个不相等的实数根\\
\because x=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}或x=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\\
\therefore x=\frac{-(-2)+\sqrt{12}}{2\times1}或x=\frac{-(-2)-\sqrt{12}}{2\times1}\\
x=\frac{2+2\sqrt{3}}{2}或x=\frac{2-2\sqrt{3}}{2}\\
\therefore x=1+\sqrt{3}或x=1-\sqrt{3}
$$
四、不解方程，判断一元二次方程根的情况
例2
②